“FACTORIZACIÓN” 3° Grado De Secundaria

¬CONCEPTOS¬

Factorizar un polinomio es denotarlo como un producto de dos o más factores, de tal forma que al efectuar la multiplicación se obtenga dicho polinomio.

FACTOR COMUN: el factor común de los términos de un polinomio es el máximo común divisor de los coeficientes multiplicado por las variables comunes elevadas al menor exponente con que aparezca en el polinomio. Para factorizar una expresión por otro factor común se divide la expresión entre el factor común de esta, encontramos el otro factor.

Conocimientos y Habilidades: efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como (x+a) ^2  (x+a) (x+b); (x+a) (x-a). Factor izar expresiones algebraicas tales como x^2 + 2ax + a^2;  ax^2 + bx;  x^2 + bx + c, x^2 – a^2.

Intenciones Didácticas: que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado perfecto y binomio al cubo de la suma de dos números.

Los siguientes son algunos ejemplos:

Menor Exponente

 (x^2)

25x^4 - 30x^3 + 5x^2= 5x^2 (5x^2 – 6x + 1)  

                

 Máximo Común Divisor (5)

6 a^2b^3c + 18ab^2 – 12ab^4c = 6ab^2 (abc + 3 – 2b^2c)

Cuando se habla de factorización se utiliza la palabra productos notables; entre los productos notables se tienen a los binomios conjugados, factor común, diferencia de cuadrados.

Los productos notables tienen binomio al cuadrado y binomio al cubo.

Los productos notables se rigen por ciertas reglas en donde emplearemos lo siguiente.

1)    Leyes de los signos, leyes de los exponentes y la reducción de términos semejantes.

Leyes De Los Signos

En la de la suma
(+) + (+) = +
(-) + (-) = -
(+) + (-) = según sea el valor del mayor 
(-) + (+) = lo mismo que arriba

En la de la resta es = solo cambias el signo que está entre medio de los paréntesis.

(-) - (-) = +
(+) - (+) = +
(-) - (+) = según sea el valor del mayor
(+) - (+) = según sea el valor del mayor

Ósea que si es un -3+1=-2

Multiplicación y División

(+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+)
(+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-)
(-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-)
(-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+)

Leyes De Los Exponentes

Ley	Ejemplo
x1 = x	61 = 6
x0 = 1	70 = 1
x-1 = 1/x	4-1 = 1/4
xmxn = xm+n	x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n	x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn	(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn	(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn	(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn	x-3 = 1/x3

La Reducción De Términos Semejantes

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

a)    6 a²b³ es término semejante con – 2 a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³)

b)    1/3 x⁵yz es término semejante con x⁵yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x⁵yz)

c)    0,3 a²c no es término semejante con 4 ac² porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a)    Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej.  :         – 3   +   – 8  =   – 11      (sumo y conservo el signo)

                   12   +   25  =   37       (sumo y conservo el signo)

Ej.  :   – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

 Ej. :    5   +   – 51   =   – 46    (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

          – 14  +   34   =    20

“Binomio Al Cuadrado”

a)    (x – y) = (x)^2 + 2 (x)(-y) + (-y)^2 

   = x^2 – 2 xy + y^2

“Regla Del Binomio Al Cuadrado”

El primer  término se eleva al cuadrado mas el doble producto del primer término por el segundo termino mas el segundo termino  elevado al cuadrado.

Ejemplo:

a)    (m^2 – 2)^2 = (m^2)^2 + 2(m^2)(2) + (-2)^2

                      = m^4 – 4m^2 + 4

b)    (3a^2 – 5) = (3a^2)^2 + 2 (3a^2)(-5) + (-5)^2

                   = 9a^4 – 30a^2 + 25

“Binomio Al Cubo”

a)    (a + b)^3 = (a)^3 + 3 (a)^2(b) + 3 (a)(b)^2 + (b)^3

                = a^3 + 3a^2b + 3a b^2 + b^3

“Regla Del Binomio Al Cubo”

El cubo del primer término más el tercer producto por el primer término elevado al cuadrado por el segundo término mas el tercer producto por el primer término por el segundo termino elevado al cuadrado más el cubo del segundo término.

Ejemplo:

a)    (3 + y)^3 = (3)^3 + 3(3)^2(y) + 3(3)(Y)^2 + (y)^3

                = 27 + 27y + 9 y^2 + y^3

b)    (5 –x)^3 = (5)^3 + 3(5)^2(x) + 3(5)(x)^2 + (x)^3

            = 125 + 75x + 15x^2 + x^3

“FACTOR COMUN MONOMIO”

15m^2 + 20 m^3 = 5m^2 (3 + 4m)

Ejemplo:

a)    A^2b + a^2c = a^2 (b + c)

b)    12xy – 8x^2  = 2x (6y – 4x)

c)    Wxy + wxy^2 = wxy (1 + y)

“Factorización de un trinomio cuadrado perfecto”

Ejemplo:

a)    X^2 + 2x + 1 =  (x+1)(x+1) =  (x+1)^2

b)    M^2 – 5m + 6 = (m-2)(m-3)

c)    M^2 – m- 2 = (m-2)(m+1)

Donde acuerdo con esta regla, a^2 – 4ab + 4b^2 es cuadrado perfecto porque:

a)    Raíz cuadrada de a^2 = a

b)    Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b

c)    Doble producto de estas raíces: (2)(a)(2b) = 4a

“Factorización de una diferencia de cuadrados”

Ejemplo:

a)    26a^10 – 81b^2= (6a^5 + 9b) (6a^5 – 9b)

b)    A^2 – b^2 = (a+b)(a-b)

 Ejemplo:

a)    N^2 + 6h – 16   = (h+8)(h-2)

b)    A^2 + 5a +6      = (a+3)(a+2)   

c)    Y^2 -13y + 40      = (y-5)(y-8)                                                                                                                                 

2º Grado De Secundaria “Simultaneas De Las Ecuaciones”

¬Conceptos¬

Ecuaciones simultaneas: Dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos.

Variable: Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.

Así, las ecuaciones:

X+Y = 5
X-Y = 1

Son simultaneas porque x =3, y=2 satisfacen ambas ecuaciones.

·         Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Conocimientos y Habilidades: representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Intenciones Didácticas: que los alumnos, a partir de ejemplos ya resueltos, reconozcan y analicen las características de los diferentes métodos (simultaneas de ecuaciones) con los que se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales, para que a partir de este análisis elijan el método idóneo según las características del sistema.

Problema 1:

La suma de dos números es 195. ¿Si el doble del primer número menos el segundo es 60, cuáles son esos números?

Solución de un sistema de ecuaciones simultáneas

Muchos problemas tienen dos incógnitas y se pueden resolver planteando simultáneamente dos ecuaciones de primer grado. Éstas se pueden resolver de varias formas.       

                                                                     

Calculando X en la primera ecuación y luego sustituyendo su valor en la segunda. Entonces se resuelve la segunda, o bien multiplicar todos los términos de una de ellas por un valor constante tal, que iguale el coeficiente de X o de Y en la otra ecuación.

En el fondo, la estrategia general consiste en convertir las ecuaciones en una sola para resolverla como una simple, obtener uno de los valores y con él regresar a resolver la ecuación inicial.

Ejemplo (a):

Ejemplo (b):

Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones más utilizados son los siguientes:

·         *  Suma y Resta

·         * Sustitución

·         * Igualación

·         * Grafico

Veamos ahora en qué consiste cada uno de ellos.

“Método de suma y resta”

Este método consta de los siguientes pasos:

1.    Mediante las propiedades de las ecuaciones, se igualan los coeficientes de una de las incógnitas.

2.    Si ambos coeficientes son de signos diferentes, se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan, con lo que se eliminan los términos que tienen esa incógnita.

3.    Como el resultado de la operación anterior es de la forma ax=b, se resuelve del ejemplo que a continuación se presentara.

4.    El valor obtenido en el paso anterior se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incógnita.

Enseguida se muestran algunos ejemplos:

Sea el sistema de ecuaciones 3x + 4y = 23; 8x – 9y = 22.

3x = 15

X = 15 / 3 = 5:                   La solución del sistema de ecuaciones es (5, 2) 

“Método de Sustitución”

Este método consta de los siguientes pasos:

1.   1.- Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones.

2.    2.-Se sustituye el valor resultante de la incógnita en la otra ecuación. Mediante las propiedades de las ecuaciones, se le lleva a la forma ax=b y se resuelve de la manera.

3.    3.-El valor obtenido del paso anterior se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incógnita.

4.-El siguiente es un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución.

5.-Tomemos el sistema de ecuaciones del punto anterior: 3x + 4y = 23; 8x – 9y = 22.

“Método Gráfico”

Este método consta de los siguientes pasos:

1.    1.-Se despeja una misma incógnita de cada una de las dos ecuaciones.

2.    2.-Se construye una tabla para cada ecuación, donde de le asignan valores a la incógnita no despejada.

3.    3.-Las dos tablas se complementan con las evaluaciones de cada uno de los valores de la incógnita no despejada en las ecuaciones del paso 1.

4.    4.-Se grafican los pares ordenados en el plano; obsérvese que se forman dos líneas rectas.

5.    5.-La solución gráfica del sistema es el punto de intersección de estas rectas.

Basándonos en el ejemplo anterior: despejando la y en cada una de las ecuaciones quedaría.

La solución es: (5, 2)