Pensamiento Algebraico

Un aspecto central en el estudio y desarrollo del pensamiento algebraico es el poder expresar, de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas tanto en la misma disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebraicas se puedan estudiar diferentes clases de relaciones entre objetos matemáticos, entre las que destacan las funciones. El álgebra es útil para abordar y analizar una gran cantidad de problemas usando propiedades de manera adecuada.

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierto modo.

 Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.

Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problemática el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. 

Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.

Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción continua acerca de la actividad matemática. Algunas preguntas, que llegan a ser rutina –en un curso que valore la resolución de problemas y que juegan un papel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: ¿he usado o identificado la información importante en el problema? ¿Estoy convencido de la forma de solución del problema? ¿Puedo convencer a otros compañeros? ¿He resuelto totalmente el problema? ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? ¿Puede este resultado ser generalizado?.

Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, aprovechar sus ideas y los resultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y a responder adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.

La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático.

Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas numéricos –y en general las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma disciplina.

Dificultades Algebraicas En La Resoluciòn De Problemas

La enseñanza de resolución de problemas en las ciencias y matemáticas se realizan mediante estrategias de trasferencia los cuales se resuelven y se explican con un conjunto de problemas y después se debe pedir  a los alumnos que ellos resuelvan los problemas análogos a los ejemplos trabajados.

Los profesores de secundaria con cierta frecuencia asumen que las relaciones analógicas entre los diversos problemas que se resuelven y los problemas que se proponen son sencillos de comprender y establecer los cuales a su vez atribuyen el fracaso a la falta de dominio de los procedimientos matemáticos de resolución.

 La resolución de problemas es una de las tareas mas creativas, exigentes e interesantes para la mente humana pues un área que ha atraído el interés de los científicos cognitivos. La comprensión de un problema parte de la comprensión de su enunciado, el cual no es sino un texto habitualmente corto, con algunas palabras.

 Las dificultades que tienen los estudiantes para aprender a resolver problemas matemáticos con enunciados que vayan asociados con los diferentes factores. Por ejemplo, se ha probado que la dificultad en la resolución de problemas de ciencias se encuentra relacionada con la cantidad de modelos mentales que deben ser construidos y procesados simultáneamente.

El procedimiento didáctico habitual para que los estudiantes adquieran los esquemas, se les debe proporcionar las bases de la comprensión y orientación del plan de acción, el cual se basara en la transferencia analógica: se explicita la resolución de un conjunto de problemas en contextos determinados para después pedirles a los alumnos que apliquen lo que han aprendido.

Los problemas seràn considerados no como un medio para dificultar el aprendizaje en los estudiantes, sino mas bien como la mejor alternativa para ayudarlos a superar sus obstàculos y provocarlos, de ahí se sugiere una nueva  forma para plantearlos. Teniendo en cuenta que el corazòn de la matematica es la resoluciòn de problemas, es muy comun que estos se planteen como relatos, y con distintas formulaciones y resoluciones  del cual dependeran de la corriente de enseñanza en la que nos situemos.

Por ejemplo: Sabiendo que la formula del area del triàngulo es:

S = b x h / 2

Y dadas la base como la altura, hallar el àrea, basandonos en un ejercicio de aplicación, el cual carecera de un valor significativo para el  alumno. Pero si por el contrario se le propone que determine que figuras regulares(triangulos, cuadrados, poligonos, etc) le permitira hacer un mosaico regular,  si es un problema que pueda resultarle un desafio.

Con esto intentara probar con los distintos poligonos que conoce, haciendo coincidir sus vertices, y asi podra ver que en cada vertice los angulos seran de 360º, estos poligonos deberan  ser regulares y sus angulos interiores seran divisores de 360º.

Si aceptamos que resuelto un problema hemos aprendido algo, eso no significara que ya nos hayamos convertido en los mejores resolutores de problemas en general, sino mas bien significara que hemos aprendido a “resolver esos problemas”.

Por el contrario el papel del profesor consiste fundamentalmente en:

A)     Organizar la situaciòn didàctica de modo que el conocimiento sea planteado como un objeto de enseñanza de forma tal que pueda ser adquirido, bajo su direcciòn, en el proceso de aprendizaje.

B)      Permitir a los estudiantes aceptar la responsabilidad de reolver el problem a propuesto, en un modo de funcionamiento adidàctico, manteniendo por medio de un proceso de conformacòn y argumentaciòn.

Enseñanza: Números Negativos

La enseñanza de los números negativos presenta dificultades para muchos estudiantes de secundaria. Los negativos han sufrido un largo y complejo proceso de aceptación hasta ser considerados como números en la misma forma que lo eran los naturales y los racionales no negativos. El inicio de la enseñanza de los números negativos con alumnos de 12 o 13 años (edad en la que suele realizarse) supone la modificación de ideas fuertemente arraigadas y construidas a lo largo de toda la enseñanza primaria e, incluso, antes.

Por ejemplo, los significados más familiares de los números positivos y de las operaciones con ellos conducen a que los alumnos tengan la idea de que no existen números menores que cero, y la de que la suma y el producto de dos números es un número mayor. También, al introducir los números negativos se produce la identificación de las operaciones suma y resta; esto es, sumar (restar) un numero es lo mismo que restar (sumar) su opuesto. Además, surgen nuevas reglas operatorias, como la de los signos para el producto.

Añadamos a todo ello los cambios que se producen en la simbología (+a = a) o las reglas de los paréntesis. Estas novedades con relación al conocimiento sobre los números positivos que ya tienen los alumnos son la causa de las dificultades y obstáculos que surgen en el aprendizaje de los números negativos. Buena parte de los alumnos terminan su aprendizaje escolar obligatorio con ideas confusas sobre los números.

Se trata de un hecho bien conocido por los profesores de los últimos cursos de la educación secundaria y de los primeros años de la universidad. En el proceso de enseñanza-aprendizaje deben utilizarse elementos que contribuyan a una visión unitaria de su enseñanza contribuiría a establecer las correctas relaciones entre ellos. Tener esa visión unitaria es especialmente importante en los momentos en que se introducen nuevos tipos de números, es decir, al realizar las extensiones numéricas.

Concretamos estas ideas a continuación. Alrededor del concepto de número hay una amplia constelación de ideas que agrupamos en tres dimensiones. Por un lado tenemos las ideas más abstractas: propiedades, símbolos, reglas operatorias. Por otro, nos encontramos con las representaciones de carácter grafico, muy especialmente la recta. Por ultimo, están las situaciones reales y problemas contextualizados que se modelizan mediante números y operaciones con ellos.

Los sistemas numéricos tienen diferencias y semejanzas en cada una de las tres dimensiones anteriores: con respecto a las ideas abstractas, a los gráficos y a los contextos. Cuando se realiza una extensión numérica hay aspectos que permanecen comunes en cada una de estas dimensiones. Por ejemplo, en la dimensión abstracta, al realizar una extensión aparecen reglas operatorias que conservan las mismas propiedades (conmutativa, asociativa, distributiva) que las del sistema inicial.

En cuanto a los gráficos, la recta es la representación común a todos los sistemas numéricos y sirve de hilo conductor entre ellos. En el plano contextual cabe hacer la siguiente observación: cualquier numero natural puede ser usado para expresar un cardinal y una temperatura, pero hay números reales que no son adecuados para expresar un cardinal, aunque si una temperatura; así pues, al ampliar un conjunto numérico se reduce la clase de situaciones en las que se aplican todos los números del nuevo sistema.

Si en la enseñanza de los números se pusiera mas énfasis que ahora en los aspectos abstractos, gráficos y contextuales comunes a los distintos sistemas de números, los alumnos construirían una visión mas integrada de los mismos. Los alumnos inician el aprendizaje numérico en el sistema de los números enteros no negativos Z+ y concluyen con el de los números reales R.

Hay varios caminos o secuencias de extensiones que pueden seguirse:

Z+-------------Q+------------R+

Z  -------------Q   -----------R

La secuencia influirá en el conocimiento que adquieran los estudiantes. También influye en el conocimiento numérico la forma en que se introducen o se presentan por primera vez a los estudiantes los nuevos números.