La enseñanza de los números negativos presenta dificultades para muchos estudiantes de secundaria. Los negativos han sufrido un largo y complejo proceso de aceptación hasta ser considerados como números en la misma forma que lo eran los naturales y los racionales no negativos. El inicio de la enseñanza de los números negativos con alumnos de 12 o 13 años (edad en la que suele realizarse) supone la modificación de ideas fuertemente arraigadas y construidas a lo largo de toda la enseñanza primaria e, incluso, antes.
Por ejemplo, los significados más familiares de los números positivos y de las operaciones con ellos conducen a que los alumnos tengan la idea de que no existen números menores que cero, y la de que la suma y el producto de dos números es un número mayor. También, al introducir los números negativos se produce la identificación de las operaciones suma y resta; esto es, sumar (restar) un numero es lo mismo que restar (sumar) su opuesto. Además, surgen nuevas reglas operatorias, como la de los signos para el producto.
Añadamos a todo ello los cambios que se producen en la simbología (+a = a) o las reglas de los paréntesis. Estas novedades con relación al conocimiento sobre los números positivos que ya tienen los alumnos son la causa de las dificultades y obstáculos que surgen en el aprendizaje de los números negativos. Buena parte de los alumnos terminan su aprendizaje escolar obligatorio con ideas confusas sobre los números.
Se trata de un hecho bien conocido por los profesores de los últimos cursos de la educación secundaria y de los primeros años de la universidad. En el proceso de enseñanza-aprendizaje deben utilizarse elementos que contribuyan a una visión unitaria de su enseñanza contribuiría a establecer las correctas relaciones entre ellos. Tener esa visión unitaria es especialmente importante en los momentos en que se introducen nuevos tipos de números, es decir, al realizar las extensiones numéricas.
Concretamos estas ideas a continuación. Alrededor del concepto de número hay una amplia constelación de ideas que agrupamos en tres dimensiones. Por un lado tenemos las ideas más abstractas: propiedades, símbolos, reglas operatorias. Por otro, nos encontramos con las representaciones de carácter grafico, muy especialmente la recta. Por ultimo, están las situaciones reales y problemas contextualizados que se modelizan mediante números y operaciones con ellos.
Los sistemas numéricos tienen diferencias y semejanzas en cada una de las tres dimensiones anteriores: con respecto a las ideas abstractas, a los gráficos y a los contextos. Cuando se realiza una extensión numérica hay aspectos que permanecen comunes en cada una de estas dimensiones. Por ejemplo, en la dimensión abstracta, al realizar una extensión aparecen reglas operatorias que conservan las mismas propiedades (conmutativa, asociativa, distributiva) que las del sistema inicial.
En cuanto a los gráficos, la recta es la representación común a todos los sistemas numéricos y sirve de hilo conductor entre ellos. En el plano contextual cabe hacer la siguiente observación: cualquier numero natural puede ser usado para expresar un cardinal y una temperatura, pero hay números reales que no son adecuados para expresar un cardinal, aunque si una temperatura; así pues, al ampliar un conjunto numérico se reduce la clase de situaciones en las que se aplican todos los números del nuevo sistema.
Añadamos a todo ello los cambios que se producen en la simbología (+a = a) o las reglas de los paréntesis. Estas novedades con relación al conocimiento sobre los números positivos que ya tienen los alumnos son la causa de las dificultades y obstáculos que surgen en el aprendizaje de los números negativos. Buena parte de los alumnos terminan su aprendizaje escolar obligatorio con ideas confusas sobre los números.
Se trata de un hecho bien conocido por los profesores de los últimos cursos de la educación secundaria y de los primeros años de la universidad. En el proceso de enseñanza-aprendizaje deben utilizarse elementos que contribuyan a una visión unitaria de su enseñanza contribuiría a establecer las correctas relaciones entre ellos. Tener esa visión unitaria es especialmente importante en los momentos en que se introducen nuevos tipos de números, es decir, al realizar las extensiones numéricas.
Concretamos estas ideas a continuación. Alrededor del concepto de número hay una amplia constelación de ideas que agrupamos en tres dimensiones. Por un lado tenemos las ideas más abstractas: propiedades, símbolos, reglas operatorias. Por otro, nos encontramos con las representaciones de carácter grafico, muy especialmente la recta. Por ultimo, están las situaciones reales y problemas contextualizados que se modelizan mediante números y operaciones con ellos.
Los sistemas numéricos tienen diferencias y semejanzas en cada una de las tres dimensiones anteriores: con respecto a las ideas abstractas, a los gráficos y a los contextos. Cuando se realiza una extensión numérica hay aspectos que permanecen comunes en cada una de estas dimensiones. Por ejemplo, en la dimensión abstracta, al realizar una extensión aparecen reglas operatorias que conservan las mismas propiedades (conmutativa, asociativa, distributiva) que las del sistema inicial.
En cuanto a los gráficos, la recta es la representación común a todos los sistemas numéricos y sirve de hilo conductor entre ellos. En el plano contextual cabe hacer la siguiente observación: cualquier numero natural puede ser usado para expresar un cardinal y una temperatura, pero hay números reales que no son adecuados para expresar un cardinal, aunque si una temperatura; así pues, al ampliar un conjunto numérico se reduce la clase de situaciones en las que se aplican todos los números del nuevo sistema.
Si en la enseñanza de los números se pusiera mas énfasis que ahora en los aspectos abstractos, gráficos y contextuales comunes a los distintos sistemas de números, los alumnos construirían una visión mas integrada de los mismos. Los alumnos inician el aprendizaje numérico en el sistema de los números enteros no negativos Z+ y concluyen con el de los números reales R.
Hay varios caminos o secuencias de extensiones que pueden seguirse:
Z+-------------Q+------------R+
Z -------------Q -----------R
La secuencia influirá en el conocimiento que adquieran los estudiantes. También influye en el conocimiento numérico la forma en que se introducen o se presentan por primera vez a los estudiantes los nuevos números.
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