La Axiomática

Los Defectos Del Aparato Euclidiano

La geometría clásica, bajo la forma que le dio Euclides en sus elementos, paso durante mucho tiempo por un modelo insuperable, y aun difícilmente igualable, al de la teoría deductiva. Los términos propios de la teoría jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se adelantan sin ser demostradas, a excepción de un pequeño número de entre ellas que se enuncian en primer lugar a titulo de principios: la demostración no puede, en efecto, remontarse al infinito y debe sin duda reposar sobre algunas proposiciones. 

El geómetra no procede sino por vía demostrativa, no funda sus pruebas sino sobre lo que se ha establecido anteriormente, conformándose con las solas leyes de la lógica. Los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar. Con ellos, la geometría dejo de ser una colección de recetas practicas o, cuando mas, de enunciados empíricos, para llegar a ser una ciencia racional. 

Un sistema axiomático se dice también: una teoría axiomática o, más brevemente, una axiomática es, pues, la forma acabada que toma, hoy, una teoría deductiva. En manera alguna es aquel sistema quimérico con el que soñaba pascal para espíritus sobrehumanos, en donde se definirían todos los términos y demostrarían todas las preposiciones, sino un sistema en donde sea totalmente explicitados los términos no definidos y las proposiciones no demostradas, siendo establecidas estas ultimas como simples hipótesis, a partir de las cuales las proposiciones del sistema pueden construirse según reglas lógicas perfecta y expresamente determinadas.

Postulados

Lo que atormento a los lectores de Euclides amigos del rigor, fue la intervención de los postulados. La simetría aparente entre la proposición que enuncia que por un punto pasa al menos una paralela, proposición que se establece por una demostración (teorema de existencia), y la que enuncia que pasa una a lo sumo (postulado de unicidad), hacia mas escandalosa aun la asimetría de las justificaciones. 

Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de postulado.  Se sabe como el fracaso de las demostraciones directas sugirió la idea de una demostración por el absurdo, y como a su vez el fracaso de las demostraciones por el absurdo termino pronto, por una inversión del punto de vista, en la constitución de las primeras geometrías llamadas no-euclidianas.  

 El alcance epistemológico de estas nuevas teorías es considerable, pues contribuyeron favorablemente a desplazar el centro de interés de la geometría especulativa, trasportándolo del contenido hacia las estructura, de la verdad extrínseca de las proposiciones aisladas hacia las coherencia interna del sistema total. Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón. 

La geometría teórica abandona ahora decididamente el primer elemento, que remite a la geometría aplicada. La verdad de los teoremas se refiere a los sistemas diferentes, por otra parte los sistemas mismos, ya no son solo cuestión de verdad o falsedad, sino en el sentid lógico de la coherencia o de la contradicción interna. Los principios que los imponen son simples hipótesis, en la acepción matemática de este término: son solamente puestos.

Y no afirmados; no son dudosos, como las conjeturas del físico, sino situados mas allá de lo verdadero y lo falso, como una decisión o una convención. De esta manera la verdad matemática toma así in carácter global: la de una vasta implicación, en  donde la conjunción de todos los principios constituye el antecedente, y la de todos los teoremas, el consecuente.

Las Figuras

Las figuras no existen solo como un auxiliar del razonamiento, que duplican en cierta forma la demostración lógica mediante una ilustración sensible, sin ser indispensable. Puesto que no hay nada de eso ya sea que esta se suprima, se trace o se imagine la demostración se viene abajo.  En las exposiciones clásicas de geometría, un análisis atento descubre así un gran número de proposiciones implícitas. En primer lugar, las proposiciones de existencia.  

 La posibilidad de construirla en la intuición prueba seguramente que la noción de la cual se trata no envuelve contradicción, pero es una prueba de hecho, no una justificación racional. Los elementos no enuncian expresamente más que una sola proposición topológica, es decir, que conciernen al orden y a la continuidad, independientemente de toda consideración de ángulos y  de métrica. 

Es claro que un método riguroso no puede permitirse este recurso permanente a la intuición. Exige que todas las propiedades supuestas sean enunciadas bajo la forma explicita de proposiciones: las que se demuestren, serán  afirmadas como teoremas, las otras Irán a aumentar el número de los postulados.

Los Axiomas

Los axiomas  también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa.   Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, mas justamente una postula Tica.  El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual.  Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concesible, el axioma seria una proposición analítica que constituiría un absurdo negar.

Las Definiciones

Las mismas razones que valen para la demostración, valen evidentemente para la definición. Se define un término mediante otros términos, estos a su vez mediante otros, de suerte que, para evitar la regresión al infinito, es necesario sin duda detenerse en algunos términos no definidos, así como las demostraciones deben apoyarse sobre algunas proposiciones no demostradas. Las “definiciones” iniciales de Euclides no tienen de definiciones mas que la apariencia. Se reducen a  simples descripciones empíricas, comparables a las que daría un diccionario, que tuviera por objeto dirigir el espíritu hacia la noción de lo que se trata.

Euclides define la línea recta: como la  que descansa igualmente sobre sus puntos.

Heron la substituye por la definición siguiente, en apariencia más clara: el camino más cortó entre dos puntos.

Leibniz advierte con razón que la mayor parte de los teoremas que se apoyan sobre la recta no utilizan ni una ni otra de estas dos propiedades.

La utilidad de esta exigencia lógica aparecerá tanto mejor si la definición reúne bajo un mismo término un número mayor de propiedades heterogéneas: entonces no basta que cada una sea posible, es necesario que en conjunto sean integrables.

Demostración Y Definición

En el punto de partida de una teoría deductiva, concebida para satisfacer a las exigencias lógicas , deberán figurar no únicamente los tres “principios” tradicionales: definiciones, axiomas y postulados, sino proposiciones no demostradas que se llamaran “indiferentemente axiomas o postulados y términos no definidos: y todo el trabajo ulterior consistirá en construir a partir de ahí proposiciones nuevas, justificadas por medio de demostraciones y de términos nuevos, fijados por medio de definiciones.

Mediante la demostración y la definición se hacen operaciones fundamentales mediante las que se desarrolla una teoría deductiva. Pero ¿Qué condiciones debe satisfacer una buena demostración y una buena definición? Eso depende del fin  que se asigne a estas operaciones y, también sobre este punto, las exposiciones clásicas de geometría carecen a menudo de claridad, puesto que se proponen en forma simultánea dos cosas diferentes, las cuales no se concilian necesariamente. 

Si se pone en primer plano la verdad del contenido, entonces la demostración y la definición llegan a ser simples medios para establecerla. El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las proposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas. 

La definición y la demostración dependen entonces, propiamente  hablando, de la retorica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. Sin embargo, en la otra hipótesis, no tienen más que una función lógica: reunir todos los términos y todas las proposiciones en un conjunto sistemático. 

Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la acompaña. La demostración vacila entre una función psicológica (determinar el asentimiento) y una función lógica (organizar las proposiciones en sistema), asimismo la definición se instala una veces en el plano del pensamiento, otras en el discurso, y muy a menudo pretende hacer a la vez lo uno y lo otro.

Apunta, como su nombre lo sugiere, a delimitar la comprensión de una idea, pero también a establecer una equivalencia lógica entre un término nuevo y un conjunto de términos anteriormente introducidos: el medio viene a ser un nuevo fin, que a menudo se añade al primero sin borrarlo.

Las Primeras Axiomáticas

II.- Nacimiento De La Axiomática

Otra razón impelía en el mismo sentido aun a aquellos que continuaban ligando la primera importancia a la verdad extrínseca de las proposiciones: la desconfianza acrecentada que suscitaba la intuición espacial. La historia entera de la geometría atestigua una tendencia constante a restringir cada vez más su dominio y acrecentar otro tanto las exigencias lógicas.

Pero en el siglo XIX con la aritmetización del análisis el movimiento acelero, separaciones sorprendentes se manifestaron así entre las sugestiones falaces en la intuición y las enseñanzas indubitables de la demostración. Dos ejemplos memorables: no es verdad que a una curva continua se pueda trazar siempre una tangente (Weierstrass), no es falso que una curva, línea sin anchura, pueda cubrir toda la superficie de un cuadrado (Peano). 

Es Pasch quien en 1882 intentó la primera axiomatización de la geometría.  Si su solución presenta muchas imperfecciones, debidas en parte al hecho de que el autor conserva la actitud del empirismo clásico, al menos planteó claramente el problema: “para que la geometría llegue a ser verdaderamente una  ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométricos, como  debe serlo de las figuras; solo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos.

He aquí las condiciones fundamentales a los que para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:

1.- Que sean enunciados explícitamente los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone uno definir los otros.

2.- Que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras.

3. Que las relaciones enunciados entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.

4.- Que solo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos  (lo que prohíbe tomar prestado algo  ala consideración de las figuras).

Anterioridad De Un Sistema

Las reglas establecidas por Pasch comportan una distinción entre los términos o proposiciones propias al sistema axiomatizado y los que son lógicamente anteriores. Las demostraciones no hacen llamado sólo a las proposiciones del sistema para integrar estas en demostraciones, es necesario utilizar reglas lógicas de encadenamiento. 

En relación a la ciencia así axiomatizada, la lógica se llama anterior. Además de la lógica, un sistema geométrico presupone ordinariamente la aritmética. De una manera general, se llamará anteriores a un sistema axiomático todos los conocimientos a los que ese sistema hace, así llamado. Se notara si una axiomática se presenta como un sistema puramente formal, los conocimientos de que tiene necesidad para constituirse son, los mismos, nociones entendidas en la plenitud de su sentido y tesis tomadas en su verdad material. 

Es difícil, señalaba poincaré “enunciar una frase sin poner en ella un nombre de número, o al menos la palabra varios, o al menos una palabra en plural”. El aritmético o el lógico numeran sus proposiciones y sus teoremas, cuenta el número de sus nociones primeras. Lo que es verdad de las nociones aritméticas vale, con mayor razón para las nociones lógicas.

Indefinibles E Indemostrables. Sistemas Equivalentes

Uno de los puntos que caracterizan a la puesta en forma axiomática de una teoría deductiva, es que se comienza por despejar y enunciar, ahí expresa y exhaustivamente los indefinibles y los indemostrables de la teoría. A menudo se juzgara preferible proceder por grados sucesivos, y no introducir sino a medida de las necesidades, sea aisladamente, sea por grupos, las nuevas nociones fundamentales, con los postulados que les correspondan: a condición, bien entendido, de que la cosa sea hecha siempre de modo explícito. 

Es necesario vigilar cuando se habla de un sistema deductivo, que no se confunden dos acepciones de la palabra sistema: el conjunto de las nociones y proposiciones que lo componen, primitivas y derivadas, y cual es la organización lógica que es posible darle. Dos sistemas de proposiciones son equivalentes si cualquier proposición del uno se puede demostrar con la sola ayuda de las proposiciones del otro, y recíprocamente; dos sistemas son equivalentes, si todo termino del uno se puede definir con la sola ayuda de los términos del otro y recíprocamente.

Las Definiciones Por Postulados

Es estatutos lógico de los postulados es claro: no son afirmados a titulo de verdades generatrices de otras verdades, sino simplemente puestos a titulo de hipótesis, tales que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones, o de las cuales uno se propone investigar que consecuencias implican. 

Según georgonne: “si una frase, observa el, contiene una sola palabra cuya significación nos es desconocida, el enunciado de esta frase podrá bastar para revelarnos su valor. Un sistema de postulados es comparable a un sistema  de ecuaciones con varias incógnitas, correspondiendo estas incógnitas a los términos primeros de la axiomática considerada: su valor no es cualesquiera, pero no está determinado sino implícitamente, solidaria, equívocamente. Esta manera de determinar el sentido de los términos es un caso de definición implícita, que se nombra definición por postulados.

Dos Ejemplos De Axiomáticas

Un ejemplo de axiomática es la que Peano construyo para la teoría de los números naturales: en primer lugar porque su brevedad permitirá exponerla toda entera, luego porque se encuentra en ella una ilustración simple y notable del carácter de equivocidad.

Pues no soporta sino tres términos primeros: cero, el numero, el sucesor de- y cinco proposiciones primeras:

1.- cero es un número.

2.- el sucesor de un número es un número.

3.- varios números cualesquiera no pueden tener el mismo sucesor.

4.- cero no es el sucesor de ningún número.

5.- si una propiedad pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números.

Como segundo ejemplo es la axiomática que Hilbert dio a la geometría euclidiana:

1.                 No se contento con despejar los axiomas, de los cuales algunos habían pertenecido hasta entonces implícitos y enumerarlos: los repartió según las nociones fundamentales que utilizan en 5 grupos y se esforzó para cada uno de  estos grupos o para sus combinaciones en precisar y delimitar el dominio de los teoremas que determinan.

Los del primer grupo establecen un enlace entre los conceptos de punto, de recta y de plano: son los axiomas característicos de la geometría proyectiva. Los del segundo grupo, los axiomas del orden, fijan el sentido de la palabra entre: son los axiomas topológicos.

El tercer grupo contiene los 6 axiomas de la congruencia o igualdad geométrica. El cuarto grupo no comporta sino solo axioma, el de las paralelas. El ultimo grupo se refiere a la continuidad y cuenta con dos axiomas a los que pertenece el llamado de Arquímedes, el cual viene a enunciar que añadiendo sucesivamente un segmento a si mismo sobre una recta a partir del punto A se podrá siempre superar un punto B cualesquiera de esa recta. Además holbert estableció la no- contradicción de su sistema de axiomas y sobre la independencia mutua de sus elementos. 

Modelos Isomorfismo

Se puede llamar concreta, material o intuitiva a una teoría en el estadio prexiomatico es decir mantiene aun el contacto con los conocimientos que organiza y que presenta un contenido que conserva su sentido y su verdad empíricos. Cuando los modelos no se distinguen entre ellos, sino la diversidad de las interpretaciones concretas que se da a sus termino y coinciden exactamente cuando se hace abstracción de estas para instalarse sobre el plano de la axiomática formal, se dice que son isomorfismos: tienen un efecto igual estructura lógica.

Consistencia E Integridad. Decibilidad

Una propiedad de un sistema son tradictorio es que permita deducir no importa que: se puede demostrar en el una proposición cualesquiera del sistema pero también su negación.

III.- Axiomáticas Formalizadas

Simbolización

El fin que uno se propone cuando se coloca bajo forma axiomática una teoría deductiva, es desprenderla de las significaciones concretas e intuitivas sobre las que en primer lugar fue construida, a fin de hacer aparecer claramente el esquema lógico abstracto. Sin embargo, parecería muy paradójico en el momento mismo en el que se crea un simbolismo para una teoría que no la posee aun, ya que desde hace tiempo se utiliza la aritmética y  desde hace poco la lógica. 

Se sabe en efecto que, desde la mitad del siglo XIX, la lógica se ha renovado completamente y ensanchado, bajo el impulso de matemáticos que la han iniciado. Mientras que Boole y sus discípulos se asignaban como fin construir un cálculo lógico sobre el modelo del cálculo algebraico, con Peano, se aplicaba a construir un algoritmo lógico especialmente adaptado a las necesidades de la expresión matemática. 

Naturalmente cuando esta segunda corriente viene a construir la que apunta a la axiomatización de las matemáticas, resulta de ahí una axiomática totalmente presentada bajo la forma simbólica, y así sin duda, es como desde fines del siglo XIX, Peano había expuesto su aritmética. Aunque simbolización y formalización sean dos pasos distintos y teóricamente separables, se encuentran, de hecho, estrechamente asociadas: pues la segunda es considerablemente  facilitada por la primera, de suerte que la llama casi irresistible.

Formalización

Apenas se cree haber satisfecho a las últimas exigencias de la lógica, cuando una exigencia nueva más útil, sugiere y requiere un esfuerzo suplementario. De la geometría empírica a la geometría racional de la presentación euclidiana a la presentación axiomática, de las axiomáticas vulgares a las axiomáticas simbolizadas, a cada paso se cree haber expulsado por fin la intuición de provecho de la lógica. 

La teoría nos presenta proposiciones primeras que enuncian, en lenguaje simbólico, relaciones lógicas entre términos primeros: puesto que no las propone sino a titulo de hipótesis, las admitimos como tales, bajo reserva de su compatibilidad, es decir la lógica sea a la vez perfectamente precisa y perfectamente universal, regulando todos los detalles e imponiéndose a todos los espíritus. 

Como dice Carnap: en lógica, no hay moral, no se trata de decretar prescripciones o prohibiciones, si no de llegar a convenciones, cada uno es libre de construir a su modo su lógica, a condición de que la enuncie claramente y que la siga luego rigurosamente. La corrección lógica en el desarrollo de una teoría axiomatizada deja entonces de tener un sentido absoluto, pero llegando hacer relativa a tal o cual conjunto de principios regulativos, se presta a una operación objetiva.

Del Razonamiento Al Cálculo

Se concibe que serie prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si uno continuara expresándose en el lenguaje usual, con su imprecisión y sus innumerables irregularidades. Una axiomática formalizada se presenta, así pues, como un conjunto de signos, los unos propios de la teoría, los otros anteriores, provistos de un enunciado de las reglas que se aplicaran en el manejo de estos signos. 

A menudo estas reglas se reparten en dos grupos: las reglas de estructura, que conciernen a la formación de expresiones y las reglas de deducción que conciernen en sus transformaciones. Las primeras deben permitir reconocer siempre, sin disputa posible, si una expresión, esta bien formada y pertenece así al sistema, si una deducción esta bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión es un teorema del sistema.

La Metamatemática

Los signos, con las leyes que regulan su empleo “definen una suerte de espacio abstracto con tantas dimensiones como grados hay de libertad en la operación concreta e imprevisible de la combinación. Así surge la idea de una ciencia nueva que tendría por objeto la abstracción hecha de su sentido. La metamatemática será, en relación a la expresión matemática, lo que la matemática usual es en relación a sus objetos.

La metamatemática se encontraba, en cierta forma, en el punto de encuentro de varias líneas de investigación. En primer lugar, en la confluencia de dos corrientes que conocemos ya: una que había tenido su origen en la reflexión sobre el aparato lógico de la geometría y que, al aplicarse para perfeccionarlo, había desembocado en la axiomática; otra que, tendía a reformar la lógica inspirándose en los métodos del algebra y había logrado constituirla como un calculo. Por una influencia reciproca, la axiomática se transformaba, pues, en un calculo, mientras que la lógica, por su lado, se axiomatizaba.

Limite A Las Demostraciones De No-Contradicción

Es necesaria, sin embargo, una condición: cualesquiera que sean la complejidad y la inseguridad de la teoría matemática estudiada y de las formulas simbólicas en donde se expresa, la demostración metamatemática que descansa sobre en la teoría de los encadenamientos deductivos muy simples y no discutidos, a manera de lograr la adhesión de un espíritu atento.

La Axiomatización De La Lógica

Cuando la axiomática estaba aun en sus comienzos, la condición de la lógica podía aparecer, en razón de su situación inicial, como privilegiada. Una teoría axiomatizada retiraba a los términos y a los postulados sobre los que se edificaba su significación y su verdad usuales, pero hacia un llamado, para esta edificación, a teorías anteriores, cuya verdad y sentido estaban presupuestos. 

Y en el punto de partida de estas teorías previas, anteriores a todas las otras, se encontraban la lógica. El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta, que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas. 

La matemática dejaba de ser esta ciencia en donde no se sabe jamás de que se habla, ni si lo que se dice es verdadero, volvería a ser categórico-deductiva a la manera de la lógica, de la que sacaba toda su substancia. Con una lógica considerada como única y absoluta, la correspondencia entre su forma axiomatizada y su uso operatorio, aunque siguiera siendo parcial, se establecía al menos como de ellas misma.

La Meta Lógica

De este modo la axiomática de la lógica constriñe a esta al desdoblamiento. No solo a ese desdoblamiento propio de toda axiomática, que permite hacer de ella una lectura abstracta o una lectura concreta, sino además, al que exige la anterioridad de la actividad constructiva por referencia a toda construcción formal. 

Toda axiomática formal se encuentra en efecto bordeada, de cada  lado por dominio intuitivo: debajo, por las interpretaciones concretas que se pueda dar de ella, los modelos, de los que uno le ha servido generalmente de lecho; arriba, por las ciencias que le son anteriores, y que intervienen, en su edificación, con su verdad categórica y su significación intuitiva. 

La situación de la lógica en un extremo de la escala de las ciencias no le permite apoyarse en una ciencia previamente constituida. Si se quiere, sin embargo, expresar el saber implícitamente utilizado en el trabajo de axiomatización de la lógica, no se podrá hacerlo en el interior de la lógica, sino en una disciplina nueva que tendría por objeto las formulas de la lógica axiomatizada y las reglas de si manejo. 

La meta lógica juega así, en relación con la lógica, el mismo papel que la metamatemática en relación con la matemática. La axiomatización obligo a tomar conciencia de ella, y a distinguirla expresamente de la lógica a la que esta vinculada como a su objeto.

IV.-El Método Axiomático En La Ciencia

Ventajas Del Método Axiomático

En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, mas que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superflojo, una suerte de juego  intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo. 

La historia de la ciencia, sin embargo, muestra de manera superabundante que a menudo las investigaciones inicialmente más desinteresadas son las que se revelan finalmente, como las más fecundadas. Para la reflexión, las ventajas del método axiomático son manifiestas. Es, en primer lugar, un preciso instrumento de abstracciones y análisis. 

Ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan a menudo aun confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas: nada nos garantiza entonces que estos diversos elementos seguirán siendo siempre compatibles, nada nos precave contra el peligro de resbalar inconscientemente, en nuestros razonamientos, del uno al otro. 

Cada teoría saca provecho de las que se le conocen actualmente como emparentadas. Se transfiere aquí, en donde nada intuitivo las sugería, los resultados adquiridos en otra parte. El rigor del método de exposición conduce, así, a fin de cuentas, a su fecundidad para el descubrimiento.

La Axiomatización De Las Matemáticas

La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que se ha podido decir que es la matemática despojada de su substancia y reducida a su forma, nació entes que ella y se desarrollo, en primer lugar, de manera independiente; mas el espíritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomática, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos ordenes de investigaciones se encuentran asociados de modo muy intimo. 

Se opta en las tendencias mismas que caracterizan al espíritu matemático europeo y que no han hecho sino exasperarse desde hace un siglo, por eso el método axiomático no puede disociarse bien. Todas las teorías matemáticas, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, han sido axiomatizadas hoy, y a menudo de múltiples maneras. Las cosas eran claras en la fase empírica e inductiva: dejándonos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades.

El análisis axiomático, destaca las estructuras de las teorías particulares ya constituidas, y revela así las analogías formales entre teorías a menudo muy alejadas por su contenido y, por esta razón, permanece independiente.  Las teorías matemáticas están puestas en correspondencia con teorías extramatemáticos, y particularmente con teorías lógicas: el cálculo de probabilidades con ciertas lógicas plurivalentes, la topología con ciertos cálculos de lógica modal.

La similitud de funciones conduce también a crear, para una teoría, nociones abstractas que nada podían sugerir mientras se les tenga sujeta a su interpretación primitiva, de la cual nacen nuevos seres matemáticos. No solamente las teorías particulares son las que se aprovechan del tratamiento axiomático. La fisonomía del conjunto de las matemáticas se encuentra transformada. 

En razón de parentescos insospechados que de pronto se revelan ahí, el universo matemático se distribuye. El orden tradicional, que repartía las disciplinas matemáticas según los objetos estudiados (aritmética, algebra, análisis infinitesimal, geometría), parecen hoy tan superficiales como las antiguas clasificaciones zoológicas, que agrupan a los animales según sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de fundarse sobre la similitud de las estructuras. 

Por ejemplo se coordinan teorías que tratan de objetos muy diferentes, pero dotados de propiedades formales análogas: la teoría de los números primos esta próxima a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. De la cual se funda sobre la jerarquía de las estructuras, yendo de las más simples y de las más generales a las más complejas y a las más especiales. En primer lugar, algunas estructuras maestras de un carácter más amplio: estructuras algebraicas, estructuras de orden, estructuras topológicas, etc.

La Axiomatización En Las Otras Ciencias

El tratamiento axiomático no fue solamente aplicado a las matemáticas, se desbordo por ambos lados. No debe sorprendernos de que un método que se propone suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su terreno de elección en la lógica misma.

Esta ciencia hace de ella hoy un empleo regular y sistemático, su uso disminuye a medida que se desciende la escala de las ciencias, que se pasa de la mecánica a las otras partes de la física, y de ahí a las otras ciencias de la naturaleza.

Una axiomática permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoría deductiva previa, la cual no tiene valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente.

La física inductiva en los siglos XVII y XVIII, abrió en el siglo XIX la era de las grandes teorías deductivas, y ha llegado hoy al punto en donde el tratamiento axiomático le resulta aplicable demasiado ampliamente.

Ciertos rasgos de las teorías nuevas las cuales, se apoyan en todo saber adquirido anteriormente, aun cuando lo corrijan las destinaban a ello, y no solamente el hecho de que nacieron en la estación misma en que florecía la axiomática.

Una física tal es necesariamente estructural, la cual pide expresamente la subordinación de los términos a las relaciones, tan característicos del ordenamiento axiomático. Si no se ha extendido mucho el uso de exponer axiomáticamente el contenido de la física clásica, no es que la cosa presente dificultades especiales, al menos para las partes ya sistematizadas.

La axiomática es el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual quiere decir también que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la vía de la axiomática.

La masa, la fuerza, el potencial, la resistencia, son entidades abstractas; sugeridas, como su nombre lo recuerda, por imágenes, pero cuyo sentido propiamente científico es fijado únicamente por las relaciones que sostienen entre ellas y con otras de igual naturaleza. Estas nociones intuitivas han servido, en el origen, para establecer las leyes, pero una vez construida la red de las leyes, la perspectiva se ha invertido: es el conjunto de principios de la mecánica clásica, de la termo-dinámica, de la óptica, que da de las nociones fundamentales de cada una de las teorías, una “definición disfrazada”.

Limites Del Método Axiomático

Las ventajas de este método disimulan los límites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones.

Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición.

La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su vez ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza.

Sobre estas bases, el verdadero trabajo axiomático, es descubrir los axiomas: no deducir, en efecto, las consecuencias de principios dados, sino al contrario, dado un conjunto de proposiciones, encontrando así un sistema mínimo de principios de donde puedan deducir.

Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados.

El beneficio del método axiomático no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulación: por mas perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, así fuesen, cada vez, mas mínimas y espaciadas.

V.- Alcance Filosófico De La Axiomática

Filosofía De Las Matemáticas

La constitución y el desenvolvimiento del método axiomático no interesan solamente al trabajo científico, se proyectan también sobre problemas filosóficos cuyo alcance se va ensanchando: filosofía de las matemáticas, filosofía de la ciencia, filosofía del conocimiento.

La axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios de nuestro siglo, a toda la filosofía matemática, el del fundamento mismo de esta ciencia.

La axiomática ingenua, confiada en el sentimiento de evidencia intelectual para justificar la selección de los axiomas, se encontraba bloqueada en un callejón sin salida. La formalización de las axiomática debe, en efecto, permitir establecer por vía demostrativa, sin tener necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es o no consistente.

La Filosofía De La Ciencia

Los teoremas de la aritmética y de la lógica se aplican a lo real, puesto que no parecía imposible mirar estas ciencias como puramente racionales, por mas débil que sea el llamado que hacen a la intuición sensible.

Las leyes de la física se expresan en lenguaje matemático, sigue siendo aparentemente plausible hacer derivar de la experiencia toda su substancia, no considerándose el simbolismo matemático sino como un vestido cómodo.

El progreso de la axiomática consiste en una clara y neta separación de lo intuitivo y de lo lógico: según la axiomática, solo los hechos lógicos y formales constituyen el objeto de la ciencia matemática, mas no el elemento intuitivo que puede referirse a ellos.

Todas las ciencias de lo real, para la expresión de las cuales utilizamos, es verdad, el lenguaje lógico-matemático, pero que podrían, en principio, privarse de el sin perder nada de su contenido, siendo proporcionado este enteramente por la experiencia.

El desdoblamiento axiomático no funciona transversalmente al nivel de la geometría. Divide longitudinalmente toda la escala de las ciencias, desde la lógica, hasta las ciencias morales.

Para cada una de ellas, posibilidad de una doble lectura: abstracta, racional y formal, o concreta, empírica y material. Se puede, por convención de lenguaje, emplear la palabra lógica o la palabra matemática para designar la lectura abstracta de una teoría axiomática cualquiera.

La oposición entre ciencias formales y ciencias de lo real no es justificable sino en la medida en que, superponiendo estas dos distinciones, uno llama formales las que, habiendo alcanzado las primeras un alto grado de abstracción, se prestan por excelencia a un tratamiento axiomático, y ciencias de lo real las que, menos avanzadas, pueden difícilmente desligarse de las interpretaciones concretas.

Filosofía Del Conocimiento

La oposición entre la razón y la experiencia no es sino una de las múltiples formulas que, sin concordar en todos los puntos, expresan de modo diverso pero con un parentesco evidente lo que se llamaba “la antítesis fundamental de la filosofía”; las ideas y los hacemos, el pensamiento y las cosas, el conocimiento y el ser, lo inteligible y lo sensible, lo abstracto y lo concreto, etc.

El método axiomático no es solo un procedimiento técnico de los matemáticos; se puede encontrar en el una ilustración, particularmente sugestiva, de la manera como procede el pensar en el conocimiento.

Aplicándole las nociones de las que el mismo hace uso, se diría que nos aporta, de las operaciones cognoscitivas, un modelo concreto, sobre el cual se puede ensayar una lectura abstracta.

La filosofía del conocimiento que sugiere la axiomática, es un racionalismo que no osa uno llamar empírico,  pues de tal modo están las dos palabras habitualmente opuestas, que al menos se lo puede calificar de inductivo o experimental.

Guiòn Del Video

Teorema de tales

Para que dos polígonos sean semejantes se han de cumplir dos condiciones:

1.- Ángulos Iguales

2.- Lados Proporcionales

Pero debemos recordar que en los triángulos solo basta con que se cumpla una condición.

Por tal razón, el teorema de tales, demuestra que en los triángulos:

Ángulos Iguales                     Lados Proporcionales

Este teorema afirma que si dos rectas se cortan por paralelas, los segmentos que estas paralelas definen en las rectas guardan la misma proporción.

A su vez se cumple el reciproco del teorema de tales,

Segmentos Proporcionales                  Paralelas

Ejemplo: 

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejercicio:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

• Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
• Los segmentos son paralelos.
• Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Por lo tanto se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.

Homotecia inversa:

Homotecia Directa:

Homotecias de centro el origen de coordenadas

En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky

El Problema Del Infinito, Filosofía Y Matemáticas

El Infinito Y La Geometría Del Movimiento Según Oresme

De Almas Y Cuerpos Cambiantes

¿en que consiste la belleza de un cuerpo? Esta es una pregunta que pocos en nuestros días responderían apelando a la matemática. A mediados del siglo XIV las pasiones del alma encontraran una descripción que establecía paralelismos de orden geométrico entre ellas y la ciencia del movimiento.

El elemento organizador de un planteamiento es el problema del cambio y su descripción, el cual Oresme somete a una modelación matemática, novedosa en el siglo XIV, pero cuyas raíces habían venido creciendo en ámbitos tan diversos como la medicina, la teología y las matemáticas.

De Latitudes Y Cualidades

Los conceptos que sustentaron el planteamiento de Oresme en su descripción del movimiento fueron los de “intensidad de la cualidad”, “latitud” y “cantidad de la cualidad”, mismos que dieron lugar al tratamiento del movimiento en términos de lo que llego a ser conocido como la doctrina d la “figuración de las potencias o cualidades” y que constituyo un medio para clasificar los movimientos según ciertas formas geométricas que esta doctrina les hacia corresponder.

La adopción de una estrategia, en la que la geometría desempeño un papel relevante, no fue casual. Por el hecho de que la geometría trabaja con continuos que se materializan en líneas, superficies y cuerpos tridimensionales, el uso de las herramientas geométricas para la cuantificación del movimiento no conducía a la búsqueda de unidades naturales de medición de los procesos que se intentaba caracterizar.

La medición consistía en comparar objetos divisibles, con los que se podía demostrar que una línea dividida en tres partes era tres veces mayor que otra línea cuya longitud era igual a una de las partes, o que una figura plana poseía la misma superficie que cierto cuadrado.

Oresme pretendía unificar sus ideas sobre la modelación geométrica en una forma clara, concisa y ordenada, explicando conceptos que otros perciben de manera confusa. Siguiendo la tradición, “intensidad” es aquello según lo cual se dice que algo es mas caliente, mas veloz o mas blanco, que tiene mas o menos una cualidad.

Oresme bautiza, “en el nombre del señor”, como “latitud”, a la magnitud de la recta que modelaba la intensidad, apelando a la tradición para justificar el no llamarla “longitud”, termino que refleja, de manera mas inmediata, lo que pretende significar.

Del Origen De La Latitud

Algunos historiadores sostienen que el concepto de latitud tiene su origen en el campo de la medicina, siendo tema de discusión de autores tales como Galeno y Avicena.  Gante, usaba el termino latitud para referirse a las variaciones que pueden surgir en las cualidades de un individuo, especie o genus, sin que lleven a la destrucción del sujeto cuyos cambios se analizan.

En su análisis del termino latitud, hace una comparación entre “distancias” cualitativas y distancias espaciales, y argumenta que la cualidad, al igual que lo que se entiende por distancia en el espacio, aumenta mediante la adición de partes.

Luego compara la distancia entre el centro del cosmos y su circunferencia, con la distancia entre lo que correspondería a la minima y la máxima cantidad de calor posible, enfatizando que, en ambos casos, se puede hablar tanto de distancias como de diferencia de grados: los puntos o grados mas cercanos al máximo serian de un grado superior a los mas lejanos.

Bradwardine retomo las discusiones medievales acerca del movimiento de un cuerpo, en las que se establecían relaciones entre fuerzas motrices, objetos en movimiento, distancia, tiempos y resistencia que ofrecía el medio al movimiento. La relación, aceptada por casi todos, establecía que la proporción entre fuerza y resistencia variaba como la velocidad del objeto que se veía sujeto a ambas acciones.

Oresme retomo estas ideas de Bradwardine y las adopto a su doctrina de las configuraciones. Sin embargo, esto llevaba asociados fuertes problemas aritméticos acerca de la conmensurabilidad entre las proporciones que se planteaban, y aun cuando no eran irresolubles, de cualquier manera lucia atractivo intentar la búsqueda de planteamientos alternativos que permitieran entender, si bien fuera por vía de la clasificación, los diferentes tipos de movimiento, a pesar de que ello implicara sacrificar el enfoque aristotélico basado en la dinámica del proceso.

El resultado de este esfuerzo fue la doctrina de las configuraciones. Esta fue una idea muy bella, en tanto que buscaba someter a una descripción matemática y, con ello, al rigor de lo racional, todo lo medible, pesable y contable que existía sobre este mundo.

El Infinito En Leibniz

La filosofía de Leibniz puede tratar de comprenderse a partir de ciertas nociones básicas para el. Una de ellas es la noción de fuerza. La otra es la noción de infinito. La importancia que le daba a esta noción esta fuera de toda duda.

Para Leibniz la mente humana se enfrenta no a uno sino a dos laberintos, para cuya solución el creyó encontrar una arma poderosa en la noción de infinito.

Leibniz contribuye de manera importantísima al desarrollo del infinito matemático, la transición del infinito ontologico a este no se dará sino varios siglos después. El infinito teológico de la escolástica tiene que ver- incluyendo a Leibniz- con las nociones de completad y de perfección.

Un infinito en perfección o un infinito intensivo, es el que difiere del infinito extensivo, que tiene que ver con la capacidad de algo para extenderse. El infinitismo de Leibniz, sin embargo, es complejo y esta rodeado de problemas, de los cuales se derivan en seis concisos parágrafos, la noción de infinito principalmente desde dos perspectivas.

La primera se refiere a la idea de infinito. La cual se puede describir como la perspectiva epistemológica. La segunda se refiere a la naturaleza del infinito, tanto desde el punto de vista teológico como desde el punto de vista ontologico, a la cual se le da el nombre de perspectiva ontologico-teológica en la cual se incluye la perspectiva matemática.

Leibniz defiende la perspectiva epistemológica de que la idea del infinito es innata, que esta surge mediante la noción de semejanza y que, del infinito, tenemos una idea positiva.

En cuanto a la perspectiva ontologico-teológica, Leibniz sostiene que el infinito no es un modo de la cantidad y que hay dos clases de infinito: el absoluto- aplicable a dios- y el que, aplicado a un todo verdadero, resulta ser absurdo.

La idea de infinito no es aquí una excepción, Leibniz sostiene que tanto la idea de infinito como la de absoluto son innatas. Ante esto Leibniz no argumenta mucho a favor de esta tesis, pues da por sentado que Locke acepta la existencia de un poder interno del espíritu para concebir el infinito.

Leibniz sostiene que así como, en un sentido ontologico, dios es el principio o causa de los seres, así en el nivel epistemológico, la fuente de nuestras ideas se encuentran en los atributos de dios. Puesto que los atributos, al igual que dios, son infinitos, la idea de infinitud tiene su origen en dichos atributos infinitos.

Leibniz distingue entre la infinitud de dios y la infinitud de sus atributos y, en vista de ello, podríamos preguntarnos si no es suficiente la consideración de la infinitud de dios para derivar nuestra idea de infinito.

Sobre La Inmensidad De Dios

La doctrina de la in extensión externo, real, absoluto, indujo a algunos filósofos modernos a concluir que era parte o atributo de dios o que dios mismo era el espacio, en la medida en que los atributos incomunícales de la deidad parecen concordar con el, tal como la infinitud, la indivisibilidad, el ser increado, impasible, sin principio o fin sin considerar que todas estas propiedades negativas pueden pertenecer a la nada, pues la nada no tiene limites, no puede moverse, cambiarse o dividirse ni se crea ni se destruye.

De este pasaje Berkeley cita una clara doctrina general que explica por que habría que negarle la extensión a dios. Se desconoce los atributos divinos de manera positiva, por lo que solo podemos predicar de dios propiedades negativas y las que convienen al espacio absoluto claramente se aplican también a la nada.

El espacio absoluto era una idea abstracta y, como tal, inexistente. Por otra parte el espacio relativo, era un espacio finito, llegado a los cuerpos perceptibles, esto es, tal espacio era una idea, y como tal era algo inerte y, por esto, impropio para ser un atributo de dios.

El Infinito Formalista

Los orígenes del formalismo se ubican en la antigüedad: en el uso de variables en la lógica aristotélica y la aparición del método axiomático en la geometría plana de Euclides; es decir, en desarrollos lingüísticos con los que aquel es generalmente identificado.

El formalismo en esta acepción puede ser descrito como un intento de integración positiva del infinito en las matemáticas. Es decir, concretamente, el objetivo central se encuentra en la justificación del infinito en las matemáticas.

Concretamente, el análisis contemporáneo comparte este rasgo altamente especulativo y metafísico con la filosofía. La crítica de Kronecker a todos estos desarrollos se refiere precisamente a este punto.

Por otra parte, el planteamiento mismo del problema de determinar que sean los números naturales supone la consideración de que existen principios generales a partir de los cuales aquellos pueden obtenerse.

La suposición ontologica complementaria, es decir, la idea de que la construcción correspondiente equivale también a una reducción, esto es, la idea de que, en sentido estricto, los números naturales no existen y que lo que hay es, en el fondo, otro tipo de entidades no parece presentarse sino con el logicismo, en su antecedente dedekindiano.