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Teorema de tales

Para que dos polígonos sean semejantes se han de cumplir dos condiciones:

1.- Ángulos Iguales

2.- Lados Proporcionales

Pero debemos recordar que en los triángulos solo basta con que se cumpla una condición.

Por tal razón, el teorema de tales, demuestra que en los triángulos:

Ángulos Iguales                     Lados Proporcionales

Este teorema afirma que si dos rectas se cortan por paralelas, los segmentos que estas paralelas definen en las rectas guardan la misma proporción.

A su vez se cumple el reciproco del teorema de tales,

Segmentos Proporcionales                  Paralelas

Ejemplo: 

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejercicio:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

• Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
• Los segmentos son paralelos.
• Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Por lo tanto se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.

Homotecia inversa:

Homotecia Directa:

Homotecias de centro el origen de coordenadas

En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky