El Problema Del Infinito, Filosofía Y Matemáticas

El Infinito Y La Geometría Del Movimiento Según Oresme

De Almas Y Cuerpos Cambiantes

¿en que consiste la belleza de un cuerpo? Esta es una pregunta que pocos en nuestros días responderían apelando a la matemática. A mediados del siglo XIV las pasiones del alma encontraran una descripción que establecía paralelismos de orden geométrico entre ellas y la ciencia del movimiento.

El elemento organizador de un planteamiento es el problema del cambio y su descripción, el cual Oresme somete a una modelación matemática, novedosa en el siglo XIV, pero cuyas raíces habían venido creciendo en ámbitos tan diversos como la medicina, la teología y las matemáticas.

De Latitudes Y Cualidades

Los conceptos que sustentaron el planteamiento de Oresme en su descripción del movimiento fueron los de “intensidad de la cualidad”, “latitud” y “cantidad de la cualidad”, mismos que dieron lugar al tratamiento del movimiento en términos de lo que llego a ser conocido como la doctrina d la “figuración de las potencias o cualidades” y que constituyo un medio para clasificar los movimientos según ciertas formas geométricas que esta doctrina les hacia corresponder.

La adopción de una estrategia, en la que la geometría desempeño un papel relevante, no fue casual. Por el hecho de que la geometría trabaja con continuos que se materializan en líneas, superficies y cuerpos tridimensionales, el uso de las herramientas geométricas para la cuantificación del movimiento no conducía a la búsqueda de unidades naturales de medición de los procesos que se intentaba caracterizar.

La medición consistía en comparar objetos divisibles, con los que se podía demostrar que una línea dividida en tres partes era tres veces mayor que otra línea cuya longitud era igual a una de las partes, o que una figura plana poseía la misma superficie que cierto cuadrado.

Oresme pretendía unificar sus ideas sobre la modelación geométrica en una forma clara, concisa y ordenada, explicando conceptos que otros perciben de manera confusa. Siguiendo la tradición, “intensidad” es aquello según lo cual se dice que algo es mas caliente, mas veloz o mas blanco, que tiene mas o menos una cualidad.

Oresme bautiza, “en el nombre del señor”, como “latitud”, a la magnitud de la recta que modelaba la intensidad, apelando a la tradición para justificar el no llamarla “longitud”, termino que refleja, de manera mas inmediata, lo que pretende significar.

Del Origen De La Latitud

Algunos historiadores sostienen que el concepto de latitud tiene su origen en el campo de la medicina, siendo tema de discusión de autores tales como Galeno y Avicena.  Gante, usaba el termino latitud para referirse a las variaciones que pueden surgir en las cualidades de un individuo, especie o genus, sin que lleven a la destrucción del sujeto cuyos cambios se analizan.

En su análisis del termino latitud, hace una comparación entre “distancias” cualitativas y distancias espaciales, y argumenta que la cualidad, al igual que lo que se entiende por distancia en el espacio, aumenta mediante la adición de partes.

Luego compara la distancia entre el centro del cosmos y su circunferencia, con la distancia entre lo que correspondería a la minima y la máxima cantidad de calor posible, enfatizando que, en ambos casos, se puede hablar tanto de distancias como de diferencia de grados: los puntos o grados mas cercanos al máximo serian de un grado superior a los mas lejanos.

Bradwardine retomo las discusiones medievales acerca del movimiento de un cuerpo, en las que se establecían relaciones entre fuerzas motrices, objetos en movimiento, distancia, tiempos y resistencia que ofrecía el medio al movimiento. La relación, aceptada por casi todos, establecía que la proporción entre fuerza y resistencia variaba como la velocidad del objeto que se veía sujeto a ambas acciones.

Oresme retomo estas ideas de Bradwardine y las adopto a su doctrina de las configuraciones. Sin embargo, esto llevaba asociados fuertes problemas aritméticos acerca de la conmensurabilidad entre las proporciones que se planteaban, y aun cuando no eran irresolubles, de cualquier manera lucia atractivo intentar la búsqueda de planteamientos alternativos que permitieran entender, si bien fuera por vía de la clasificación, los diferentes tipos de movimiento, a pesar de que ello implicara sacrificar el enfoque aristotélico basado en la dinámica del proceso.

El resultado de este esfuerzo fue la doctrina de las configuraciones. Esta fue una idea muy bella, en tanto que buscaba someter a una descripción matemática y, con ello, al rigor de lo racional, todo lo medible, pesable y contable que existía sobre este mundo.

El Infinito En Leibniz

La filosofía de Leibniz puede tratar de comprenderse a partir de ciertas nociones básicas para el. Una de ellas es la noción de fuerza. La otra es la noción de infinito. La importancia que le daba a esta noción esta fuera de toda duda.

Para Leibniz la mente humana se enfrenta no a uno sino a dos laberintos, para cuya solución el creyó encontrar una arma poderosa en la noción de infinito.

Leibniz contribuye de manera importantísima al desarrollo del infinito matemático, la transición del infinito ontologico a este no se dará sino varios siglos después. El infinito teológico de la escolástica tiene que ver- incluyendo a Leibniz- con las nociones de completad y de perfección.

Un infinito en perfección o un infinito intensivo, es el que difiere del infinito extensivo, que tiene que ver con la capacidad de algo para extenderse. El infinitismo de Leibniz, sin embargo, es complejo y esta rodeado de problemas, de los cuales se derivan en seis concisos parágrafos, la noción de infinito principalmente desde dos perspectivas.

La primera se refiere a la idea de infinito. La cual se puede describir como la perspectiva epistemológica. La segunda se refiere a la naturaleza del infinito, tanto desde el punto de vista teológico como desde el punto de vista ontologico, a la cual se le da el nombre de perspectiva ontologico-teológica en la cual se incluye la perspectiva matemática.

Leibniz defiende la perspectiva epistemológica de que la idea del infinito es innata, que esta surge mediante la noción de semejanza y que, del infinito, tenemos una idea positiva.

En cuanto a la perspectiva ontologico-teológica, Leibniz sostiene que el infinito no es un modo de la cantidad y que hay dos clases de infinito: el absoluto- aplicable a dios- y el que, aplicado a un todo verdadero, resulta ser absurdo.

La idea de infinito no es aquí una excepción, Leibniz sostiene que tanto la idea de infinito como la de absoluto son innatas. Ante esto Leibniz no argumenta mucho a favor de esta tesis, pues da por sentado que Locke acepta la existencia de un poder interno del espíritu para concebir el infinito.

Leibniz sostiene que así como, en un sentido ontologico, dios es el principio o causa de los seres, así en el nivel epistemológico, la fuente de nuestras ideas se encuentran en los atributos de dios. Puesto que los atributos, al igual que dios, son infinitos, la idea de infinitud tiene su origen en dichos atributos infinitos.

Leibniz distingue entre la infinitud de dios y la infinitud de sus atributos y, en vista de ello, podríamos preguntarnos si no es suficiente la consideración de la infinitud de dios para derivar nuestra idea de infinito.

Sobre La Inmensidad De Dios

La doctrina de la in extensión externo, real, absoluto, indujo a algunos filósofos modernos a concluir que era parte o atributo de dios o que dios mismo era el espacio, en la medida en que los atributos incomunícales de la deidad parecen concordar con el, tal como la infinitud, la indivisibilidad, el ser increado, impasible, sin principio o fin sin considerar que todas estas propiedades negativas pueden pertenecer a la nada, pues la nada no tiene limites, no puede moverse, cambiarse o dividirse ni se crea ni se destruye.

De este pasaje Berkeley cita una clara doctrina general que explica por que habría que negarle la extensión a dios. Se desconoce los atributos divinos de manera positiva, por lo que solo podemos predicar de dios propiedades negativas y las que convienen al espacio absoluto claramente se aplican también a la nada.

El espacio absoluto era una idea abstracta y, como tal, inexistente. Por otra parte el espacio relativo, era un espacio finito, llegado a los cuerpos perceptibles, esto es, tal espacio era una idea, y como tal era algo inerte y, por esto, impropio para ser un atributo de dios.

El Infinito Formalista

Los orígenes del formalismo se ubican en la antigüedad: en el uso de variables en la lógica aristotélica y la aparición del método axiomático en la geometría plana de Euclides; es decir, en desarrollos lingüísticos con los que aquel es generalmente identificado.

El formalismo en esta acepción puede ser descrito como un intento de integración positiva del infinito en las matemáticas. Es decir, concretamente, el objetivo central se encuentra en la justificación del infinito en las matemáticas.

Concretamente, el análisis contemporáneo comparte este rasgo altamente especulativo y metafísico con la filosofía. La crítica de Kronecker a todos estos desarrollos se refiere precisamente a este punto.

Por otra parte, el planteamiento mismo del problema de determinar que sean los números naturales supone la consideración de que existen principios generales a partir de los cuales aquellos pueden obtenerse.

La suposición ontologica complementaria, es decir, la idea de que la construcción correspondiente equivale también a una reducción, esto es, la idea de que, en sentido estricto, los números naturales no existen y que lo que hay es, en el fondo, otro tipo de entidades no parece presentarse sino con el logicismo, en su antecedente dedekindiano.